Question

4．已知點P（x，y）是直角坐標(biāo)平面xOy上的一個動點，
（1）若點P到兩個定點F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）的距離之和等于10，試寫出點P的軌跡方程；
（2）當(dāng)動點P在何處時，△PF₁F₂面積的最大？并求出最大面積；
（3）試問軌跡上是否存在一點M，使MF₁⊥MF₂，若存在，求出M點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|PF₁|+|PF₂|=10＞|F₁F₂|=8，由橢圓的定義可得，所求軌跡方程；
（2）運用橢圓的范圍和三角形的面積公式的運用，即可得到所求最大值；
（3）假設(shè)軌跡上存在一點M，使MF₁⊥MF₂．設(shè)M（m，n），由F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，聯(lián)立方程組，解方程可得M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意可得|PF₁|+|PF₂|=10＞|F₁F₂|=8，
由橢圓的定義可得，P的軌跡為以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，
其a=5，c=4，b=3，可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（m，n），|F₁F₂|=8，
△PF₁F₂面積為S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y_P|=4|y_P|，
當(dāng)|y_P|=3，即有P為短軸的端點，即P（0，±3）時，
△PF₁F₂面積取得最大，且為12；
（3）假設(shè)軌跡上存在一點M，使MF₁⊥MF₂．
設(shè)M（m，n），由F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
可得$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-4-m，-n），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（4-m，-n），
即有（-4-m）（4-m）+n²=0，
即m²+n²=16，①
又$\frac{{m}^{2}}{25}$+$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，②
由①②解得m=±$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，n=±$\frac{9}{4}$．
則橢圓上存在四個點，且為（$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，$\frac{9}{4}$），（-$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，$\frac{9}{4}$），（-$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，-$\frac{9}{4}$），（$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，-$\frac{9}{4}$）．

點評 本題考查軌跡方程的求法，注意運用橢圓的定義，考查橢圓的范圍的運用：求面積的最大值，考查存在性問題的解法，注意聯(lián)立方程組求解，屬于中檔題．