Question

4．點(diǎn)P為△ABC平面上一點(diǎn)，有如下三個(gè)結(jié)論：
②若$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，則點(diǎn)P為△ABC的重心；
②若sinA•$\overrightarrow{PA}$+sinB$\overrightarrow{PB}$+sinC•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，則點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心；
③若sin2A•$\overrightarrow{PA}$+sin2B•$\overrightarrow{PB}$+sin2C•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，則點(diǎn)P為△ABC的外心．
回答以下兩個(gè)小問(wèn)：
（1）請(qǐng)你從以下四個(gè)選項(xiàng)中分別選出一項(xiàng)，填在相應(yīng)的橫線上．
A．重心  B．外心  C．內(nèi)心  D．重心
（2）請(qǐng)你證明結(jié)論②

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合三角形的重心、內(nèi)心和外心的幾何性質(zhì)，即可得出點(diǎn)P是三角形的四心中的哪一個(gè)；
（2）根據(jù)正弦定理與平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)心的幾何性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①當(dāng)$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$時(shí)，點(diǎn)P為△ABC的重心；
②當(dāng)sinA•$\overrightarrow{PA}$+sinB$\overrightarrow{PB}$+sinC•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$時(shí)，點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心；
③當(dāng)sin2A•$\overrightarrow{PA}$+sin2B•$\overrightarrow{PB}$+sin2C•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$時(shí)，點(diǎn)P為△ABC的外心；
故答案為：重心，內(nèi)心，外心；
（2）sinA•$\overrightarrow{PA}$+sinB•$\overrightarrow{PB}$+sinC•$\overrightarrow{PC}$=0，
由正弦定理得a•$\overrightarrow{PA}$+b•$\overrightarrow{PB}$+c•$\overrightarrow{PC}$=0，
即a•$\overrightarrow{PA}$=-b•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AB}$）-c•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AC}$），
所以（a+b+c）•$\overrightarrow{PA}$=-b•$\overrightarrow{AB}$-c•$\overrightarrow{AC}$
=-bc•$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$-bc•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，
所以$\overrightarrow{PA}$=-$\frac{bc}{a+b+c}$（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
所以點(diǎn)P在∠A平分線上，
同理，可證P在∠B平分線上，
即P為△ABC的內(nèi)心．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了變形、轉(zhuǎn)化、推理論證能力．