Question

12．如圖：在四棱錐S-ABCD中，已知∠DAB=∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=a，AD=2a，求直線SD與AC所成的角的大�。�

Answer 1

分析 以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線SD與AC所成的角的大�。�

解答 解：∵在四棱錐S-ABCD中，已知∠DAB=∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=a，AD=2a
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，
S（0，0，a），D（0，2a，0），A（0，0，0），C（a，a，0），
$\overrightarrow{SD}$=（0，2a，-a），$\overrightarrow{AC}$=（a，a，0），
設直線SD與AC所成的角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{SD}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{SD}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{|2{a}^{2}|}{\sqrt{5}a•\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴α=arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直線SD與AC所成的角為arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．