Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow$=（-2，-6），|$\overrightarrow{c}$|=10，若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=5，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為120．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為 θ，由題意可得 $\overrightarrow$=-2$\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=2$\sqrt{10}$，$\overrightarrow$ 與$\overrightarrow{c}$ 的夾角為π-θ，由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義，求得cosθ 的值，可得θ的值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為 θ，θ∈[0°，180°]，∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow$=（-2，-6），
∴$\overrightarrow$=-2$\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow$|=2$\sqrt{10}$，$\overrightarrow$ 與$\overrightarrow{c}$ 的夾角為π-θ．
再根據(jù)（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=5，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=$\sqrt{10}$×10×cosθ+2$\sqrt{10}$×10×cos（π-θ）=-10$\sqrt{10}$•cosθ=5，
求得cosθ=-$\frac{1}{2}$，∴θ=120°，
故答案為：120°．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，反余弦函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．