Question

18．已知點(diǎn)A為定點(diǎn)，線段BC在定直線l上滑動(dòng)，|BC|=4，點(diǎn)A到直線l的距離為2．
（1）求△ABC的外心M的軌跡E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A任作直線與軌跡E相交于P、Q兩點(diǎn)，問直線l上是否存在點(diǎn)H，使得$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$為定值？若存在，確定點(diǎn)H的位置及其定值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，線段BC的中點(diǎn)，AC的中點(diǎn)，由$\overrightarrow{BC}⊥\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{QM}$，可得結(jié)論；
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)H（m，0），用點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$為定值，求得m值，可得結(jié)論．

解答 解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系
設(shè)A（0，2），B（x₀-2，0），C（x₀+2，0），外心M（x，y）
則線段BC的中點(diǎn)P（x₀，0），AC的中點(diǎn)Q（$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，1）
∴$\overrightarrow{BC}$=（4，0），$\overrightarrow{AC}$=（x₀+2，-2），$\overrightarrow{PM}$=（x-x₀，y），
$\overrightarrow{QM}$=（x-$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，y-1），
由$\overrightarrow{BC}⊥\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{QM}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{4（x-{x}_{0}）=0}\\{（{x}_{0}+2）（x-\frac{{x}_{0}+2}{2}）+（-2）（y-1）=0}\end{array}\right.$
消去x₀可得：x²=4y；
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)H（m，0），使得$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$為定值．
設(shè)直線l的方程為y=kx+2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
代入x²=4y得x²-4kx-8=0，∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-8．
∵$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=x₁•x₂-m（x₁+x₂）+$\frac{1}{16}$（x₁•x₂）²+m²=-4-4km+m²為常數(shù)，與k無(wú)關(guān)，
∴m=0，此時(shí)，H（0，0），且 $\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HQ}$=-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，求定點(diǎn)H的橫坐標(biāo)m值是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵，屬于中檔題．