Question

2．已知四棱錐S-ABCD的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，SC為球O的直徑，則此棱錐的體積為（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出空間幾何體的直觀圖，利用圓的幾何知識(shí)得出Rt△SBC，Rt△SDC，Rt△SAC，利用邊長(zhǎng)根據(jù)勾股定理得出△ABS，△ADS，為直角三角形，可得SA⊥平面ABC，即可求棱錐的體積．

解答 解：根據(jù)題意得出：
AC=2$\sqrt{2}$，SC=4，AB=BC=DC=DA=2
根據(jù)圓的幾何知識(shí)得出Rt△SBC，Rt△SDC，Rt△SAC，
∴可知SD=SB=2$\sqrt{3}$，SA=2$\sqrt{2}$，
根據(jù)勾股定理得出△ABS，△ADS，為直角三角形．
∴SA⊥AC，SA⊥AB，
∵AC∩AB=A，
∴SA⊥平面ABC，
∴棱錐的體積為$\frac{1}{3}×2×2×2\sqrt{2}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，充分利用圓的知識(shí)得出直線，平面的位置關(guān)系，從而利用公式求解即可．