Question

5．已知關(guān)于x的方程x²-2mx+3+4m²-6=0的兩根為α，β，試求（α-1）²+（β-1）²的最大值與最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)△≥0求出m的取值范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系求出函數(shù)u=（α-1）²-（β-1）²的最大值與最小值即可．

解答 解：∵α、β為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=4m²-4（3+4m²-6）≥0，
解得-1≤m≤1；
設(shè)u=（α-1）²-（β-1）²=（α+β）²-2（α+β）-2αβ+2，
且α+β=2m，αβ=4m²-3，
∴u=4m²-4m-2（4m²-3）+2
=-4m²-4m+8
=-4${（m+\frac{1}{2}）}^{2}$+9，
又∵-1≤m≤1，
∴當(dāng)m=-$\frac{1}{2}$時(shí)，u取得最大值u_max=9，
m=1時(shí)，u取得最小值u_min=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及函數(shù)的最值問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．