Question

14．設雙曲線方程$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1的焦點分別為F₁，F₂，離心率為2，設A、B分別為雙曲線漸近線l₁，l₂上的動點，且2|AB|=5|F₁F₂|，則線段AB的中點M的軌跡方程為（　�。�

• A． 直線
• B． 圓
• C． 橢圓
• D． 雙曲線

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），利用2|AB|=5|F₁F₂|，以及中點坐標公式，建立方程，根據A、B分別為l₁、l₂上的點，化簡可得軌跡方程及對應的曲線．

解答 解：∵e=2，∴c²=4a²，
∵c²=a²+3，∴a=1，c=2，
∴雙曲線方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1，
漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），
∵2|AB|=5|F₁F₂|，
∴|AB|=$\frac{5}{2}$|F₁F₂|=$\frac{5}{2}$×2c=10，$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=10，
∵y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x₁，y₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x₂，
2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
∴y₁+y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₁-x₂），y₁-y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₁+x₂），
即有x₁-x₂=$\sqrt{3}$（y₁+y₂），
可得3（2y）²+$\frac{1}{3}$（2x）²=100，
化簡可得$\frac{{x}^{2}}{75}$+$\frac{3{y}^{2}}{25}$=1，對應的曲線為橢圓．
故選：C．

點評 本題考查軌跡方程的求解及軌跡的判斷，考查雙曲線的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．