Question

19．如圖所示，平面ABCD⊥平面ABEF，其中四邊形ABCD為矩形，四邊形ABEF為等腰梯形，AB∥EF，點O為AB的中點，M為CD的中點，AB=2，AF=EF=1
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）若直線AM與平面CBF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{10}$，求BC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導(dǎo)出AB⊥BC，從在則BC⊥平面ABEF，進而AF⊥BC，再由余弦定理和勾股定理得到AF⊥BF，由此能證明AF⊥平面CBF．
（Ⅱ）以F為原點，F(xiàn)A為x軸，F(xiàn)B為y軸，過F作平面AFEB的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BC的長．

解答 證明：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，其中四邊形ABCD為矩形
∴AB⊥BC，
∵平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴BC⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥BC，
∵四邊形ABEF為等腰梯形，AB∥EF，點O為AB的中點，M為CD的中點，AB=2，AF=EF=1，
∴∠BEF=120°，
∴BF=$\sqrt{1+1-2×1×1×cos120°}$=$\sqrt{3}$，
∴AF²+BF²=AF²，∴AF⊥BF，
∵BF∩BC=B，∴AF⊥平面CBF．
解：（Ⅱ）以F為原點，F(xiàn)A為x軸，F(xiàn)B為y軸，過F作平面AFEB的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)BC=t，由已知得A（1，0，0），D（1，0，t），C（0，$\sqrt{3}$，t），
M（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，t），B（0，$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)（0，0，0），
$\overrightarrow{FB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{FC}$=（0，$\sqrt{3}$，t），$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，t），
平面FBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∵直線AM與平面CBF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
解得t=2或t=-2．（舍）
∴BC的長為2．

點評 本題考查向量垂直的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．