Question

3．等比數(shù)列{a_n}中，公比q≠1，它的前n項(xiàng)和為M，數(shù)列{$\frac{2}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為N，則$\frac{M}{N}$的值為$\frac{{{{a}_{1}}^{2}q}^{n-1}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和M與數(shù)列{$\frac{2}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和N，計(jì)算$\frac{M}{N}$的值即可．

解答 解：等比數(shù)列{a_n}中，公比q≠1，設(shè)首項(xiàng)為a₁，
則它的前n項(xiàng)和為M=$\frac{{a}_{1}（1{-q}^{n}）}{1-q}$，
所以數(shù)列{$\frac{2}{{a}_{n}}$}的首項(xiàng)為$\frac{2}{{a}_{1}}$，公比為q′=$\frac{1}{q}$，
它的前n項(xiàng)和為N=$\frac{\frac{2}{{a}_{1}}[1{-（\frac{1}{q}）}^{n}]}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{2{（q}^{n}-1）}{{{a}_{1}q}^{n-1}（q-1）}$，
所以$\frac{M}{N}$=$\frac{{a}_{1}（1{-q}^{n}）}{1-q}$•$\frac{{{a}_{1}q}^{n-1}（1-q）}{2（1{-q}^{n}）}$=$\frac{{{{a}_{1}}^{2}q}^{n-1}}{2}$．
故答案為：$\frac{{{{a}_{1}}^{2}q}^{n-1}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的定義與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了計(jì)算能力的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．