Question

16．設(shè)拋物線y²=2px的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，P為拋物線上任一點(diǎn)，PQ⊥l于Q，求QF與OP的交點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)P（x₁，y₁）、M（x，y），則Q（-$\frac{P}{2}$，y₁）、F（$\frac{P}{2}$，0），由題意知OP的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，F(xiàn)Q的方程為y=-$\frac{{y}_{1}}{p}$（x-$\frac{p}{2}$），由此可求出M點(diǎn)的軌跡方程．

解答 解：如圖，
設(shè)P（x₁，y₁）、M（x，y），則Q（-$\frac{p}{2}$，y₁）、F（$\frac{p}{2}$，0），
∴OP的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，①
FQ的方程為y=-$\frac{{y}_{1}}{p}$（x-$\frac{p}{2}$），②
由①②得x₁=$\frac{2px}{p-2x}$，y₁=$\frac{2py}{p-2x}$，
代入y²=2px，
可得y²=-2x²+px，x≠$\frac{p}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，訓(xùn)練了代入法求軌跡方程問題，是中檔題．