Question

5．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（I）求C的參數(shù)方程；
（II）若半圓C與圓D：（x-5）²+（y-$\sqrt{3}$）²=m（m是常數(shù)，m＞0）相切．試求切點(diǎn)的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}{=x}^{2}{+y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐標(biāo)方程，利用cos²t+sin²t=1進(jìn)而得出參數(shù)方程；（2）結(jié)合圖象和圓的位置關(guān)系求出切點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）由半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，即ρ²=4ρcosθ，
可得C的普通方程為（x-2）²+y²=4（0≤y≤2）．
可得C的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x=2（1+cost）}\\{y=2sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤t≤π）．
（2）如圖示：

連接圓心AB，則兩圓切與P，設(shè)P（x，y），
在RT△ABC中，AB=$\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{y}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$，解得y=1，
∴AD=$\sqrt{3}$，則x=2+$\sqrt{3}$，
∴P（2+$\sqrt{3}$，1）．

點(diǎn)評 本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、圓與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．