Question

8．若實數(shù)a，b滿足ab＞0，且a²b=4，若a+b≥m恒成立．
（Ⅰ）求m的最大值；
（Ⅱ）若2|x-1|+|x|≤a+b對任意的a，b恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出a＞0，b＞0，根據(jù)基本不等式求出m的最大值即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為2|x-1|+|x|≤3，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)可得b=$\frac{4}{a^2}$＞0，∴a＞0，
∴a+b=a+$\frac{4}{a^2}$=$\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{4}{a^2}$≥3，
當(dāng)a=2，b=1時，a+b取得最小值3，
∴m的最大值為3；
（Ⅱ）要使2|x-1|+|x|≤a+b對任意的a，b恒成立，
須且只須2|x-1|+|x|≤3，
①x≥1時，2x-2+x≤3，解得：1≤x≤$\frac{5}{3}$，
②0≤x＜1時，2-2x+x≤3，解得：0≤x＜1，
③x＜0時，2-2x-x≤3，解得：x≥-$\frac{1}{3}$，
∴實數(shù)x的取值范圍是-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{5}{3}$．

點評 本題考察了基本不等式的性質(zhì)問題，考察解不等式問題，求出a+b的最小值是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．