Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{1}{2}{n^2}$+$\frac{11}{2}$n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{1}{{（2{a_n}-11）（2{a_n}-9）}}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為Tn，求使不等式Tn＞$\frac{k}{2015}$對(duì)一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值；
（3）設(shè)f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}（n=2k-1，k∈{N^*}）\\ 3{a_n}-13（n=2k，k∈{N^*}）\end{array}$，是否存在m∈N*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）清楚首項(xiàng)，然后利用a_n=S_n-S_n-1當(dāng)其數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）化簡c_n=$\frac{1}{{（2{a_n}-11）（2{a_n}-9）}}$，利用裂項(xiàng)求和，判斷數(shù)列的單調(diào)性，求解最值即可．
（3）化簡函數(shù)的解析式，通過當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，分別求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=6，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（\frac{1}{2}{n^2}+\frac{11}{2}n）-[\frac{1}{2}{（n-1）^2}+\frac{11}{2}（n-1）]=n+5$
而當(dāng)n=1時(shí)，n+5=6，∴a_n=n+5（n∈N^*）．（4分）
（2）${c_n}=\frac{1}{{（2{a_n}-11）（2{a_n}-9）}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}={c_1}+{c_2}+…+{c_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]=\frac{n}{2n+1}$．
∵${T}_{n}{-T}_{n-1}=\frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}＞0$，∴T_n單調(diào)遞增，${（{T_n}）_{min}}={T_1}=\frac{1}{3}$．
令$\frac{1}{3}＞\frac{k}{2015}$，得$k＜671\frac{2}{3}$，所以k _max=671．（8分）
（3）$f（n）=\left\{\begin{array}{l}n+5（n=2k-1，k∈{N^*}）\\ 3n+2（n=2k，k∈{N^*}）\end{array}\right.$
當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m+15為偶數(shù)，∴3m+47=5m+25，m=11．
當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m+15為奇數(shù)，∴m+20=15m+10，$m=\frac{5}{7}∉N*$（舍去）
綜上，存在唯一正整數(shù)m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查是的函數(shù)的特征，數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列求和方法，以及不等式的知識(shí)，考查計(jì)算能力．