Question

6．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{1}{2}$，且過點$A（{1，\frac{3}{2}}）$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點B在橢圓上，點D在y軸上，且$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DA}$，求直線AB方程．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關系，以及點A滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設出B（x₀，y₀），D（0，m），運用向量共線的坐標表示，結(jié)合橢圓方程，可得m=1，B的坐標，再由直線方程的求法，即可得到．

解答 解：（1）∵$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}∴a=2c$，
∴b²=a²-c²=3c²
設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
∵橢圓過點$A（{1，\frac{3}{2}}）$．
∴$\frac{1}{{4{c^2}}}+\frac{3}{{4{c^2}}}=1∴c=1$，
則橢圓方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）設B（x₀，y₀），D（0，m），
則$\overrightarrow{BD}=（-{x_0}，m-{y_0}）$，$\overrightarrow{DA}=（1，\frac{3}{2}-m）$，
由$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DA}$，
則-x₀=2，m-y₀=3-2m，即x₀=-2，y₀=3m-3，
代入橢圓方程得$\frac{4}{4}$+$\frac{（3m-3）^{2}}{3}$=1，
可得m=1，
∴B（-2，0），
又點$A（{1，\frac{3}{2}}）$．
AB的斜率為k=$\frac{\frac{3}{2}}{1+2}$=$\frac{1}{2}$，
∴直線AB的方程為y=$\frac{1}{2}$x+1．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，同時考查向量的共線的坐標表示，直線方程的求法，屬于中檔題．