Question

19．在圓x²+y²=9上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，點M在線段DP上，滿足$\frac{|DM|}{|DP|}$=$\frac{2}{3}$，當(dāng)點P在圓上運動時，設(shè)點M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線y=m（x+5）上存在點Q，使過點Q作曲線C的兩條切線互相垂直，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出P（x₀，y₀），M（x，y），D（x₀，0），由點M在線段PD上，且滿足DM=$\frac{2}{3}$DP，M的坐標用P的坐標表示，代入圓的方程得答案；
（Ⅱ）設(shè)過點Q（x₀，y₀）的橢圓的切線方程為y-y₀=k（x-x₀），
由y=kx-kx₀+y₀，$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，整理得：（4+9k²）x²+18k（-kx₀+y₀）x+9（-kx₀+y₀）²-36=0，由△=324k²（-kx₀+y₀）²-36（4+9k²）[（-kx₀+y₀）²-4]=0，整理得：（9-${{x}_{0}}^{2}$）k²+2kx₀y₀+4-${{y}_{0}}^{2}$=0．由k₁k₂=$\frac{4-{{y}_{0}}^{2}}{9-{{x}_{0}}^{2}}=-1$⇒${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=13$，點Q是圓x²+y²=9與y=m（x+5）的公共點，∴O（0，0）到直線y=m（x+5）的距離d$≤\sqrt{13}$即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀），M（x，y），D（x₀，0），
∵點M在線段PD上，且滿足滿足$\frac{|DM|}{|DP|}$=$\frac{2}{3}$，∴x₀=x，y₀=$\frac{3}{2}$y，
又P在圓x²+y²=9上，∴x₀²+y₀²=9，∴x²+$\frac{9}{4}$y²=9，
曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）假設(shè)在直線y=m（x+5）上存在點Q（x₀，y₀），設(shè)過點Q（x₀，y₀）的橢圓的切線方程為y-y₀=k（x-x₀），即y=kx-kx₀+y₀．
由y=kx-kx₀+y₀，$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，整理得：（4+9k²）x²+18k（-kx₀+y₀）x+9（-kx₀+y₀）²-36=0，
由△=324k²（-kx₀+y₀）²-36（4+9k²）[（-kx₀+y₀）²-4]=0，
整理得：（9-${{x}_{0}}^{2}$）k²+2kx₀y₀+4-${{y}_{0}}^{2}$=0．
故過點Q（x₀，y₀）的橢圓的兩條切線斜率k₁，k₂分別是：（9-${{x}_{0}}^{2}$）k²+2kx₀y₀+4-${{y}_{0}}^{2}$=0的兩解
故k₁k₂=$\frac{4-{{y}_{0}}^{2}}{9-{{x}_{0}}^{2}}=-1$⇒${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=13$，
∴點Q是圓x²+y²=9與y=m（x+5）的公共點，∴O（0，0）到直線y=m（x+5）的距離d$≤\sqrt{13}$即可．
$（\frac{5m}{\sqrt{1+{m}^{2}}}）^{2}≤13$解得12m²≤13，即-$\frac{\sqrt{39}}{6}$$≤m≤\frac{\sqrt{39}}{6}$，
實數(shù)m的取值范圍：[$-\frac{\sqrt{39}}{6}.\frac{\sqrt{39}}{6}$]．

點評 本題考查了軌跡方程的求法，考查了代入法求曲線的軌跡方程，橢圓的切線問題，屬于難題．