Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為：$ρ=\frac{4cosθ}{{1-{{cos}^2}θ}}$，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤α＜π）．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)為M（2，2），求α．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，代入即可求得直角坐標(biāo)系方程；
（2）方法一：將直線l的參數(shù)方程，代入拋物線方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得tanα，由0≤α＜π，即可求得α的值；
方法二：利用點(diǎn)差法，則求得直線AB的斜率k，則0≤α＜π，即可求得α的值；
方法三：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得直線AB的斜率，求得求得α的值；
方法四：將直線方程代入拋物線方程，${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}=4$則 k=tanα=1，求得求得α的值；

解答 解：（1）曲線$C：ρ=\frac{4cosθ}{{1-{{cos}^2}θ}}$，即ρsin²θ=4cosθ，
于是有ρ²sin²θ=4ρcosθ，
化為直角坐標(biāo)方程為：y²=4x
（2）方法一：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=x+2tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$，則（2+tsinα）2=4（2+tcosα），
即t²sin²α+（4sinα-4cosα）t-4=0
由AB的中點(diǎn)為M（2，2）得t₁+t₂=0，有4sinα-4cosα=0，所以k=tanα=1
由0≤α＜π，
∴$α=\frac{π}{4}$；
方法二：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\left\{{\begin{array}{l}{y_1^2=4{x_1}}\\{y_2^2=4{x_2}}\end{array}}\right.⇒（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）=4（{x_1}-{x_2}）$，
∵y₁+y₂=4，
∴${k_l}=tanα=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=1$，
由0≤α＜π，
∴$α=\frac{π}{4}$．
方法三：設(shè)$A（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}），B（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}），（{y_1}＜{y_2}）$，則由M（2，2）是AB的中點(diǎn)得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{y_1^2}{4}+\frac{y_2^2}{4}=4}\\{{y_1}+{y_2}=4}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=4}\\{{y_1}{y_2}=0}\end{array}}\right.$，
∵y₁＜y₂，∴y₁=0，y₂=4，知A（0，0），B（4，4），
∴k_l=tanα=1，由0≤α＜π得$α=\frac{π}{4}$．
方法四：依題意設(shè)直線l：y-2=k（x-2），與y²=4x聯(lián)立得$y-2=k（\frac{y^2}{4}-2）$，
即ky²-4y-8k+8=0
由${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}=4$得 k=tanα=1，
由0≤α＜π，
∴$α=\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的參數(shù)方程，拋物線的極坐標(biāo)方程，考查直線的斜率公式，直線與拋物線方程的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．