Question

8．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0．
（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有有兩個不同的交點A、B；
（2）求弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用直線l：mx-y+1-m=0過定點P（1，1），而點P（1，1）在圓內，判定直線l與圓C總有兩個不同交點A、B；
（2）設出弦AB中點M，用弦的中點與圓心連線與割線垂直，求出軌跡方程．

解答 （1）證明：∵直線l：mx-y+1-m=0過定點P（1，1），而點P（1，1）在圓內，
∴直線l與圓C總有兩個不同交點；…（4分）
（2）解：當M與P不重合時，連結CM、CP，則CM⊥MP，
又因為|CM|²+|MP|²=|CP|²，
設M（x，y）（x≠1），則x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，
化簡得：x²+y²-x-2y+1=0（x≠1）…（7分）
當M與P重合時，x=1，y=1也滿足上式．
故弦AB中點的軌跡方程是x²+y²-x-2y+1=0．…（9分）

點評 本題考查軌跡方程，直線和圓的方程的應用，考查轉化思想，考查分析問題解決問題的能力，計算能力，是中檔題．