Question

14．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）[ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$]的圖象經(jīng)過點（0，$\frac{1}{2}$），且相鄰兩條對稱軸的距離為$\frac{π}{2}$，求函數(shù)f（x）的解析式及其在[0，π]上的單增區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)圖象求出A，T，求出ω，圖象經(jīng)過（0，$\frac{1}{2}$），求出φ，然后求f（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象得到在[0，π]上的單增區(qū)間．

解答 解：∵相鄰兩條對稱軸的距離為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
∴f（x）=sin（2x+φ），
∵圖象經(jīng)過點（0，$\frac{1}{2}$），
∴f（0）=sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴單調(diào)增區(qū)間為2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
∴kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
當k=0時，-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}$，
當k=1時，$\frac{2π}{3}$≤x≤$\frac{7π}{6}$，
∴在[0，π]上的單增區(qū)間為[0，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，π]．

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，屬于中檔題