Question

【題目】對于雙曲線：（），若點滿足，則稱在的外部；若點滿足，則稱在的內(nèi)部.

（1）若直線上點都在的外部，求的取值范圍；

（2）若過點，圓（）在內(nèi)部及上的點構(gòu)成的圓弧長等于該圓周長的一半，求、滿足的關(guān)系式及的取值范圍；

（3）若曲線（）上的點都在的外部，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）.

【解析】

（1）直線上點都在的外部等價于不等式的解為一切實數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立問題從而求解；

（2）根據(jù)對稱性，只需要考慮這兩個曲線在第一象限及、軸正半軸的情況，由此可得兩曲線的交點坐標(biāo)為，將點和代入雙曲線得到兩個方程，然后將看成已知數(shù)，解出，根據(jù)，解出的范圍；

（3）先將曲線（）轉(zhuǎn)化為，根據(jù)所有點都在的外部，可以得到不等式對任意非零實數(shù)均成立，令，轉(zhuǎn)化為函數(shù)進行分類討論，求解最值，從而得出的取值范圍.

解：（1）由題意，因為直線上點都在的外部，

所以直線上點滿足，

即求不等式的解為一切實數(shù)時的取值范圍.

對于不等式，

當(dāng)時，不等式的解集不為一切實數(shù)，

于是有解得.

故的取值范圍為.

（2）因為圓和雙曲線均關(guān)于坐標(biāo)軸和原點對稱，

所以只需考慮這兩個曲線在第一象限及、軸正半軸的情況.

由題設(shè)，圓與雙曲線的交點平分該圓在第一象限內(nèi)的圓弧，

它們交點的坐標(biāo)為.

將，代入雙曲線方程，

得（*），

又因為過點，

所以，

將代入（*）式，

得.

由，

解得.

因此，的取值范圍為.

（3）由，

得.

將代入，

因為曲線（）上的點都在的外部，

所以不等式對任意非零實數(shù)均成立，

其中.

令，設(shè)，（）.

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不恒成立；

當(dāng)時，，

函數(shù)的最大值為，

因為，所以；

當(dāng)時，.

綜上，，解得.

因此，的取值范圍為.