【題目】過(guò)點(diǎn)作一直線與拋物線交于,兩點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上到直線的距離最小的點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn).
(Ⅰ)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)求證:直線平行于拋物線的對(duì)稱軸.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)詳見(jiàn)解析
【解析】
試題分析:(Ⅰ)到直線距離最小的點(diǎn),可根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式,取最小值時(shí)的點(diǎn);也可根據(jù)幾何意義得為與直線平行且與拋物線相切的切點(diǎn):如根據(jù)點(diǎn)到直線的距離
得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值,(Ⅱ)要證直線平行于拋物線的對(duì)稱軸,就是要證兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等,設(shè)點(diǎn) ,求出直線AP方程,與直線方程聯(lián)立,解出點(diǎn)縱坐標(biāo)為.同理求出直線AB方程,與拋物線方程聯(lián)立,解出點(diǎn)縱坐標(biāo)為.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,
所以,點(diǎn)到直線的距離
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.………………………………4分
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,顯然.
當(dāng)時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為,直線的方程為;
當(dāng)時(shí),直線的方程為,
化簡(jiǎn)得;
綜上,直線的方程為.
與直線的方程聯(lián)立,可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
當(dāng)時(shí),直線的方程為,可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
此時(shí),
即知軸,
當(dāng)時(shí),直線的方程為,
化簡(jiǎn)得,
與拋物線方程聯(lián)立,消去,
可得,
所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
從而可得軸,
所以,軸.……………………………………13分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐中,四邊形是直角梯形, 底面, 為的中點(diǎn), 點(diǎn)在上,且.
(1)證明: 平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形, 為的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)若四邊形是正方形,且,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是,并且經(jīng)過(guò).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線,直線與橢圓相交于兩點(diǎn),當(dāng)的面積最大時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在對(duì)人們休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查了124人,其中女性70人,男性54人,女性中有43人主要的休閑方式是看電視,另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng);男性中有21人主要的休閑方式是看電視,另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng).
(Ⅰ)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表;
(Ⅱ)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系?
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場(chǎng)所提供的自行車單車共享服務(wù),由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)+”,符合“低碳出行”的理念,已越來(lái)越多地引起了人們的關(guān)注.某部門為了對(duì)該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管,隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,并將問(wèn)卷中的這100人根據(jù)其滿意度評(píng)分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100] 分成5組,制成如圖所示頻率分直方圖.
(1) 求圖中的值;
(2) 已知滿意度評(píng)分值在[90,100]內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為2:1,若在滿意度評(píng)分值為[90,100]的人中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行座談,設(shè)其中的女生人數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某中學(xué)聯(lián)盟舉行了一次“盟校質(zhì)量調(diào)研考試”活動(dòng),為了解本次考試學(xué)生的某學(xué)科成績(jī)情況,從中抽取部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(滿分為分,得分取正整數(shù),抽取學(xué)生的分?jǐn)?shù)均在之內(nèi))作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按照的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(莖葉圖中僅列出了得分在的數(shù)據(jù))
(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值;
(Ⅱ)在選取的樣本中,從成績(jī)?cè)?/span>分以上(含分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生參加“省級(jí)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)競(jìng)賽”,求所抽取的名學(xué)生中恰有一人得分在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明準(zhǔn)備利用暑假時(shí)間去旅游,媽媽為小明提供四個(gè)景點(diǎn),九寨溝、泰山、長(zhǎng)白山、武夷山.小明決定用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)制定一個(gè)方案來(lái)決定去哪個(gè)景點(diǎn):(如圖)曲線和直線交于點(diǎn).以為起點(diǎn),再?gòu)那上任取兩個(gè)點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量,記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為.若去九寨溝;若去泰山;若去長(zhǎng)白山; 去武夷山.
(1)若從這六個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量,分別求小明去九寨溝的概率和不去泰山的概率;
(2)按上述方案,小明在曲線上取點(diǎn)作為向量的終點(diǎn),則小明決定去武夷山.點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的最大值.
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