Question

3．已知數(shù)列{a_n}=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，有a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若集合M={n|a_nb_n≥λ，n∈N^*}中有且只有4個元素，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的通項公式可得數(shù)列是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，把已知遞推式變形可得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）求出數(shù)列{a_nb_n}的通項，結合其函數(shù)特性即可求得滿足集合M={n|a_nb_n≥λ，n∈N^*}中有且只有4個元素的實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）由${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}$，可知數(shù)列{a_n}是首項為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
則${a}_{1}_{n}+\frac{1}{2}（{a}_{1}_{n-1}+{a}_{2}_{n-2}+…+{a}_{n-1}_{1}）=n-1+\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴${a}_{1}_{n}+\frac{1}{2}（n-2+\frac{1}{{2}^{n-1}}）=n-1+\frac{1}{{2}^{n}}$，解得：b_n=n；
（2）由${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}，_{n}=n$，
得${a}_{n}_{n}=n•（\frac{1}{2}）^{n}$，
令f（n）=$\frac{n}{{2}^{n}}$，當n=1時，f（1）=$\frac{1}{2}$；當n=2時，f（2）=$\frac{2}{{2}^{2}}=\frac{1}{2}$；
當n=3時，f（3）=$\frac{3}{{2}^{3}}=\frac{3}{8}$；當n=4時，f（4）=$\frac{1}{4}$；當n=5時，f（5）=$\frac{5}{{2}^{5}}=\frac{5}{32}$．
又${f}^{′}（n）=\frac{{2}^{n}-n•{2}^{n}}{{2}^{2n}}＜0$在n≥2時成立，函數(shù)f（n）為減函數(shù)．
∴滿足集合M={n|a_nb_n≥λ，n∈N^*}中有且只有4個元素的實數(shù)λ的取值范圍是$\frac{5}{32}＜λ≤\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．