Question

20．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓上的兩點(diǎn)，已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{{x}_{1}}$，$\frac{{y}_{1}}{a}$），向量$\overrightarrow$=（$\frac{{x}_{2}}$，$\frac{{y}_{2}}{a}$），若$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，且橢圓的離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短軸長為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；
（3）△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先，根據(jù)離心率和短軸長確定其方程即可；
（2）首先，可以設(shè)直線AB的方程為y-$\sqrt{3}$=kx，然后，結(jié)合向量關(guān)系求解即可；
（3）若直線AB的斜率不存在時(shí)，則x₁=x₂，y₁=-y₂，得到矛盾，直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為：y=kx+p，然后，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．

解答 解：（1）∵橢圓的離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵短軸長為2，
∴b=1，
∴a²-c²=1，
∴a=2，b=1，
∴橢圓的方程$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；
（2）根據(jù)（1）知F（0，$\sqrt{3}$），
設(shè)直線AB的方程為y-$\sqrt{3}$=kx，
∴y=kx+$\sqrt{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=4}\end{array}\right.$．
（4+k²）x²+2$\sqrt{3}$kx-1=0，
∴x₁x₂=$\frac{-1}{4+{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{-2\sqrt{3}k}{4+{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+$\sqrt{3}$）（kx₂+$\sqrt{3}$）=k²x₁x₂+$\sqrt{3}$k（x₁+x₂）+3
=$\frac{12-4{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{m}$=（$\frac{{x}_{1}}$，$\frac{{y}_{1}}{a}$），向量$\overrightarrow$=（$\frac{{x}_{2}}$，$\frac{{y}_{2}}{a}$），若$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
∵a=2，b=1，
∴x₁x₂+$\frac{1}{4}$y₁y₂=0
∴$\frac{-1}{4+{k}^{2}}$+$\frac{1}{4}•$$\frac{12-4{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$=0，
∴k=±$\sqrt{2}$；
（3）若直線AB的斜率不存在時(shí)，則x₁=x₂，y₁=-y₂，
根據(jù)$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，
∴x₁²-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=0，這與點(diǎn)A在橢圓上矛盾，
故直線AB的斜率存在，
設(shè)其方程為：y=kx+p，
代入橢圓方程，得
（4+k²）x²+2kpx+p²-4=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2kp}{4+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{p}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$，
根據(jù)$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，
x₁x₂+$\frac{1}{4}$y₁y₂=0，
∵y₁=kx₁+p，y₂=kx₂+p，
∴2p²=k²+4，
∵O到直線AB的距離為$\frac{|p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$$\frac{|p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$|AB|，
=$\frac{1}{2}$|p|•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{|p|\sqrt{4{k}^{2}+16-4{p}^{2}}}{{k}^{2}+4}=\frac{|p|\sqrt{8{p}^{2}-4{p}^{2}}}{2{p}^{2}}=1$（定值），
∴△AOB的面積為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、平面向量數(shù)量積運(yùn)算等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，能力要求較高．