Question

2．已知函數f（x）=$\frac{{x}^{2}+c}{ax}$（a＞0，c＜0），當x∈[1，3]時，函數f（x）的取值范圍恰為[-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{6}$]．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若向量$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（k²-k+2，3k-1）（k＜0），解關于x的不等式f（x）＜$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得到函數的單調性，利用自變量與函數值的關系求之；
（2）利用向量的數量積公式得到不等式，然后解之．

解答 解：因為函數f（x）=$\frac{{x}^{2}+c}{ax}$（a＞0，c＜0），所以此函數在x∈[1，3]為增函數，
又當x∈[1，3]時，函數f（x）的取值范圍恰為[-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{6}$]．
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+c}{a}=-\frac{3}{2}}\\{\frac{9+c}{3a}=\frac{5}{6}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
所以f（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{2x}$；
（2）因為向量$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（k²-k+2，3k-1）（k＜0），
所以$\frac{{x}^{2}-4}{2x}＜-\frac{{k}^{2}-k+2}{x}+\frac{3k-1}{2}$，
化簡得$\frac{（x-2k）[x-（k-1）]}{2x}＜0$，
所以當k=-1時，不等式的解集為{x|x＜0}；
當-1＜k＜0時，2k＜k-1，不等式的解集為{x|k-1＜x＜0或x＜2k}．

點評 本題考查了函數單調性性質的運用、向量的數量積公式以及不等式的解法．