Question

2．試推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．

Answer 1

分析 設(shè)兩定點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂）距離之和為定值2a（a＞c），代入兩點(diǎn)間距離公式，化簡可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：到兩定點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0）距離之和為定值2a（a＞c）的點(diǎn)P的軌跡為橢圓．…（2分）
設(shè)P（x，y），則$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a=\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}+\sqrt{{y^2}+{{（x-c）}^2}}$，
∴所以$2a-\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}=\sqrt{{y^2}+{{（x-c）}^2}}$…（4分）
∴${（2a-\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}）^2}={\sqrt{{y^2}+{{（x-c）}^2}}^2}$
∴$4{a^2}+{y^2}+{（x+c）^2}-4a\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}={y^2}+{（x-c）^2}$
∴$4{a^2}+{y^2}+{（x+c）^2}-4a\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}={y^2}+{（x-c）^2}$
∴$a+\frac{c}{a}x=\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}$（由定義可得x∈[-a，a]，所以$a+\frac{c}{a}x＞0）$…（6分）
∴${a^2}+2cx+\frac{c^2}{a^2}{x^2}={y^2}+{（x+c）^2}$
∴${y^2}+\frac{{{a^2}-{c^2}}}{a^2}{x^2}={a^2}-{c^2}$，即$\frac{y^2}{{{a^2}-{c^2}}}+\frac{x^2}{a^2}=1$，
因?yàn)閍＞c，不妨令a²-c²=b²，
∴焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)間距離公式，通過移項(xiàng)將等式兩邊各有一個(gè)根號(hào)，從而簡單方程是解答的關(guān)鍵．