Question

19．記拋物線f（x）=x-x²與x軸所圍成的平面區(qū)域?yàn)镸，該拋物線與直線y=$\frac{1}{3}$x所圍成的平面區(qū)域?yàn)锳，若向區(qū)域M內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在區(qū)域A的概率為（　�。�

• A． $\frac{8}{27}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{9}$
• D． $\frac{7}{27}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)與x軸和y=$\frac{1}{3}$x的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)積分的幾何意義求出對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：由f（x）=x-x²=0得x=0或x=1，即B（1，0）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-{x}^{2}}\\{y=\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$得x-x²=$\frac{1}{3}$x，得$\frac{2}{3}$x=x²，
得x=0或x=$\frac{2}{3}$，即C（$\frac{2}{3}$，0），
由積分的定義得區(qū)域A的面積S=∫${\;}_{0}^{1}$（x-x²）dx=（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
區(qū)域M的面積S=∫${\;}_{0}^{\frac{2}{3}}$（x-x²-$\frac{1}{3}$x）dx=（$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{0}^{\frac{2}{3}}$=[$\frac{1}{3}$（$\frac{2}{3}$）²-$\frac{1}{3}$（$\frac{2}{3}$）³]|=$\frac{4}{27}$-$\frac{8}{81}$=$\frac{4}{81}$，
則若向區(qū)域M內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在區(qū)域A的概率P=$\frac{\frac{4}{81}}{\frac{1}{6}}$=$\frac{8}{27}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)積分求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力．