Question

18．雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的離心率為m，記函數(shù)y=x²與y=mx的圖象所圍成的陰影部分的面積為S（如圖所示），任取x∈[0，2]，y∈[0，4]，則點(diǎn)（x，y）恰好落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（　�。�

• A． $\frac{17}{96}$
• B． $\frac{5}{32}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{7}{48}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出離心率m，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合積分的應(yīng)用求出陰影部分的面積，利用幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1得a²=4，b²=12，
則c²=4+12=16，
即a=2，c=4，則離心率為m=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{2}$=2，
則直線y=mx=2x代入y=x²，得x²=2x，
則x=0或x=2，
則陰影部分的面積S=∫${\;}_{0}^{2}$（2x-x²）dx=（x²-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{0}^{2}$=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∵x∈[0，2]，y∈[0，4]，
∴對(duì)應(yīng)矩形的面積S=2×4=8，
則則點(diǎn)（x，y）恰好落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率P=$\frac{\frac{4}{3}}{8}$=$\frac{1}{6}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出離心率以及利用積分求出陰影部分的面積是解決本題的關(guān)鍵．