Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意的x₁，x₂∈D，當(dāng)x₁+x₂=2a時(shí)，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，則稱點(diǎn)（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱中心．研究函數(shù)f（x）=x³+sinx+1的某一個(gè)對(duì)稱中心，并利用對(duì)稱中心的上述定義，可得到f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）=（　　）

• A、0
• B、2014
• C、4028
• D、4031

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=x³+sinx+1圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（0，1），即x₁+x₂=0時(shí)，總有f（x₁）+f（x₂）=2，再利用倒序相加，即可得到結(jié)論

解答： 解：∵f（x）=x³+sinx+1，∴f′（x）=3x²-cosx，f''（x）=6x+sinx
又∵f''（0）=0
而f（x）+f（-x）=x³+sinx+1+-x³-sinx+1=2，
函數(shù)f（x）=x³+sinx+1圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（0，1），
即x₁+x₂=0時(shí)，總有f（x₁）+f（x₂）=2，
∴f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）
=2×2015+f（0）
=4030+1
=4031．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，確定函數(shù)的對(duì)稱中心，利用倒序相加x₁+x₂=0時(shí)，總有f（x₁）+f（x₂）=2，是解題的關(guān)鍵．