Question

4．無窮等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₃=6，S₆=3，則$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\frac{8+4\root{3}{4}}{2+\root{3}{4}}$．

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)及公比，由此能求出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的極限．

解答 解：∵無窮等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₃=6，S₆=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{3}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=6}\\{{S}_{6}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}=3}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=4+2\root{3}{4}$，q=-$\frac{\root{3}{4}}{2}$，
∴S_n=$\frac{（4+2\root{3}{4}）[1-（-\frac{\root{3}{4}}{2}）^{n}]}{1+\frac{\root{3}{4}}{2}}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（4+2\root{3}{4}）[1-（-\frac{\root{3}{4}}{2}）^{n}]}{1+\frac{\root{3}{4}}{2}}$=$\frac{4+2\root{3}{4}}{1+\frac{\root{3}{4}}{2}}$=$\frac{8+4\root{3}{4}}{2+\root{3}{4}}$．
故答案為：$\frac{8+4\root{3}{4}}{2+\root{3}{4}}$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的極值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．