Question

14．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的x，y∈R，總有f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+1，判斷函數(shù)g（x）的奇偶性并證明；
（2）若x＜0時(shí)恒有f（x）＞-1，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件能得出g（x+y）=g（x）+g（y），再用奇偶性的定義加以證明；
（2）直接運(yùn)用單調(diào)性的定義和作差比較法證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
∴f（x+y）+1=[f（x）+1]+[f（y）+1]，（*）
而g（x）=f（x）+1，則（*）式可以表示為：
g（x+y）=g（x）+g（y），可以判斷y=g（x）為R上的奇函數(shù)，證明如下：
令x=y=0得，g（0）=g（0）+g（0），所以，g（0）=0，
再令y=-x得，g（0）=g（x）+g（-x），所以，g（-x）=-g（x），
因此，g（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）為R上單調(diào)遞減函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）
=f（x₁-x₂）+f（x₂）+1-f（x₂）
=f（x₁-x₂）+1，
∵x₁-x₂＜0，∴f（x₁-x₂）＞-1，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）為R上的單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)奇偶性的判斷和證明，抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，運(yùn)用了定義和作差比較法，屬于中檔題．