Question

5．已知sinα，tanθ是方程5x²-7x-6=0的兩根，若3π＜α＜$\frac{7π}{2}$，求$\frac{sin（5π-α）cos（2π-α）cos（\frac{3π}{2}-α）-si{n}^{2}α}{cos（\frac{π}{2}-α）sin（-π-α）}$的值，求$\frac{2si{n}^{2}θ-3co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+2co{s}^{2}θ}$的值．

Answer 1

分析 由條件利用韋達(dá)定理求得sinα=2和tanθ的值，再利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得要求式子的值．

解答 解：∵sinα，tanθ是方程5x²-7x-6=0的兩根，∴sinα+tanθ=$\frac{7}{5}$，sinα•tanθ=-$\frac{6}{5}$．
再結(jié)合3π＜α＜$\frac{7π}{2}$，可得sinα＜0，求得sinα=-$\frac{3}{5}$，或 sinα=2（舍去），∴tanθ=2，cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{4}{5}$．
故 $\frac{sin（5π-α）cos（2π-α）cos（\frac{3π}{2}-α）-si{n}^{2}α}{cos（\frac{π}{2}-α）sin（-π-α）}$=$\frac{sinα•cosα•（-sinα）{-sin}^{2}α}{sinα•sinα}$=-cosα-1=$\frac{4}{5}$-1=-$\frac{1}{5}$，
$\frac{2si{n}^{2}θ-3co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+2co{s}^{2}θ}$=$\frac{{2tan}^{2}θ-3}{{tan}^{2}θ+2}$=$\frac{8-3}{4+2}$=$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查韋達(dá)定理、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題．