Question

14．已知數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列；
（2）若對一切大于1的正整數(shù)n，不等式a_n＞$\frac{1}{12}$log_a（a+1）+$\frac{2}{3}$恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得a_n+1，作差a_n+1-a_n，判斷符號，即可得證；
（2）由題意可得（a_n）_min＞$\frac{1}{12}$log_a（a+1）+$\frac{2}{3}$，求得最小值，運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（1）證明：a_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$，
a_n+1=$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$，
即有a_n+1-a_n=$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$
=$\frac{1}{（2n+1）（2n+2）}$＞0，
即有數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列；
（2）對一切大于1的正整數(shù)n，不等式a_n＞$\frac{1}{12}$log_a（a+1）+$\frac{2}{3}$恒成立，
由（1）可得{a_n}是遞增數(shù)列，可得n＞1時，a₂取得最小，且為$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$，
即有$\frac{1}{12}$log_a（a+1）+$\frac{2}{3}$＜$\frac{7}{12}$，即為log_a（a²+a）＜0，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{{0＜a}^{2}+a＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{2}+a＞1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜a＜1．
即實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）．

點評 本題考查數(shù)列的單調(diào)性和運用，考查數(shù)列不等式恒成立問題的解法，考查運算能力，屬于中檔題．