Question

4．（1）如圖（1）所示，在北緯30°圈上兩地A，B的經(jīng)度差為銳角θ，若sinθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求A，B兩地間的球面距離（地球半徑為R）．
（2）如圖（2）所示，三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為1的正三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，求球O的表面積與體積．

Answer 1

分析 （1）欲求A、B兩點間的球面距離，只要求出球心角的大小即可，為此，在三角形ABO中結(jié)合題中條件進行求解即得．
（2）由三棱錐三條側(cè)棱兩兩相互垂直且相等，可聯(lián)想正方體的一個“角”，可構(gòu)造正方體來處理．由題目的條件可以知道，以三棱錐的三條側(cè)棱為邊的正立方體恰好為球O的內(nèi)接正立方體，可得該正方體的體對角線恰好為球O的直徑．正立方體的體對角線根據(jù)勾股定理可求得為$\sqrt{3}$，于是可得球O的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，球的表面積為3π，球的體積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$π．

解答 解：（1）如圖，設(shè)30°緯度圈的圓心為O₁，半徑為r，
則r=Rcos30°=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$．依題意sin∠AO₁B=sinθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，θ為銳角，
則：cosθ=$\frac{1}{3}$，由余弦定理可得：AB=$\sqrt{{r}^{2}+{r}^{2}-2{r}^{2}cosθ}$=R，
故：△AOB為等邊三角形，∠AOB=$\frac{π}{3}$，
∴從而A、B兩點的球面距離為$\frac{π}{3}$R．
（2）以三棱錐P-ABC構(gòu)造正方體ADEF-PCGB，
則正方體也內(nèi)接球，正方體的對角線PE的長就是三棱錐P-ABC外接球的直徑．
可得：PA=PB=PC=1，PE=$\sqrt{3}$，
故：S球=4πr²=3π，
V球=$\frac{4π{r}^{3}}{3}$=$\frac{4π}{3}$×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）³=$\frac{\sqrt{3}π}{2}$．

點評 本題主要考查了球的性質(zhì)，特別是球面距離的求法，涉及到地理知識中的經(jīng)度緯度的概念，有些數(shù)學(xué)問題，其部分條件隱于圖形之中，若能抓住圖形的“特征”，利用運動變換的觀點，恰當(dāng)?shù)靥碓O(shè)輔助圖形，就能發(fā)現(xiàn)含而未露的條件，使問題獲解，本題屬于中檔題．