Question

9．已知拋物線y²=16x上有一點(diǎn)P，F(xiàn)是它的焦點(diǎn)．
（1）若P點(diǎn)準(zhǔn)線的距離為20，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若P點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，M是線段PF的中點(diǎn)，求M點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線y²=16x的準(zhǔn)線方程是x=-4，P點(diǎn)準(zhǔn)線的距離為20，求出P的橫坐標(biāo)，即可求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先求焦點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可得中點(diǎn)坐標(biāo)，利用P是拋物線y²=16x上的動(dòng)點(diǎn)，代入拋物線方程即可求得．

解答 解：（1）∵拋物線y²=16x的準(zhǔn)線方程是x=-4，P點(diǎn)準(zhǔn)線的距離為20，
∴P的橫坐標(biāo)是16，∴y=±16，
∴P（16，±16）；
（2）拋物線的焦點(diǎn)為F（4，0），設(shè)P（p，q）為拋物線一點(diǎn)，則q²=16p，
設(shè)Q（x，y）是PF中點(diǎn)，則：x=$\frac{4+p}{2}$，y=$\frac{q}{2}$，將p=2x-4，q=2y代入：q²=16p得：4y²=16（2x-4），
即y²=4（2x-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查軌跡方程的求解，利用了代入法，關(guān)鍵是尋找動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，再利用已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡求解．