Question

數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=nsin

nπ

2

+1，S_n為其前n項的和，則S₂₀₁₃=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式和周期，分類討論可得：隨著n的值變化求出sin

nπ

2

的值，由此化簡S₂₀₁₃的表達式，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求出答案．

解答： 解：當n=4k（k∈Z）時，sin

nπ

2

=sin0=0；
當n=4k+1（k∈Z）時，sin

nπ

2

=sin

π

2

=1；
當n=4k+2（k∈Z）時，sin

nπ

2

=sinπ=0；
當n=4k+3（k∈Z）時，sin

nπ

2

=sin

3π

2

=-1；
則S₂₀₁₃=（1×sin

π

2

+1）+（2×sinπ+1）+（3×sin

3π

2

+1）+…+（2013sin

2013π

2

+1）
=[1×1+3×（-1）+5×1+7×（-1）+…+2011×（-1）+2013×1]+2013×1
=（1-3+5-7+…+2009-2011+2013）+2013
=[503×（-2）+2013]+2013=3020．
故答案為：3020．

點評：本題求一個特殊數(shù)列的前2013項和，著重考查了正弦函數(shù)的周期、誘導(dǎo)公式和等差數(shù)列的通項與求和等知識，屬于中檔題．