Question

4．設命題p：函數(shù)y=lg（ax²+2x+a）的值域為R；命題q：存在x∈[1，3]使x²-2ax+4≤0成立，．如果命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q真，假時的a的范圍，結合命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，得到p，q一真一假，從而求出a的范圍．

解答 解：關于p：當a=0時；y=lg2x，滿足題意，
當a≠0時，ax²+2x+a＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△{=2}^{2}-{4a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得：a＞1，
∴p為真時：a=0，或a＞1，
p為假時：a∈（-∞，0）∪（0，1]，
關于q：存在x∈[1，3]使x²-2ax+4≤0成立，．
命題q：a≥2，q為假時：a＜2；
如果命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，
則p，q一真一假，
p真q假時：1＜a＜2，
p假q真時：無交集，
綜上：1＜a＜2．

點評 本題考查了復合命題的判斷，考查對數(shù)函數(shù)的性質，考查解不等式問題，是一道中檔題．