Question

15．我們稱函數f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$為“囧函數”，下列是關于“囧函數”的四個命題：
①?x∈（1，+∞），f（x）＞1；
②?x₁，x₂∈（1，+∞），$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≥0；
③命題p：函數f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$的圖象為軸對稱圖形，命題q：函數f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$的圖象存在對稱中心；則（￢p）∨q為真命題；
④已知0＜m＜1，若“?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（m，1），使得f（x₁）=-f（x₂）”為真命題，則m的最大值為$\frac{1}{2}$．
其中的真命題有①④．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 畫出函數f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$的圖象，數形結合逐一分析四個結合的真假，可得答案．

解答 解：函數f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$的圖象如下圖所示：

由圖可得：
函數在（1，+∞）是值域為：（1，+∞），即?x∈（1，+∞），f（x）＞1，故①正確；
函數在（1，+∞）為減函數，即?x₁，x₂∈（1，+∞），$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，故②錯誤；
函數f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$的圖象關于y軸對稱，故命題p為真命題，函數f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$的圖象不存在對稱中心，故命題q為假命題；
則（￢p）∨q為假命題，故③錯誤；
?x₁∈（1，+∞），f（x₁）∈（1，+∞），
若?x₂∈（m，1），使得f（x₁）=-f（x₂），
則f（x₂）∈（-∞，-1），
則m≤$\frac{1}{2}$，即m的最大值為$\frac{1}{2}$，故④正確．
故真命題有：①④，
故答案為：①④

點評 本題以命題的真假判斷為載體考查了函數f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$的圖象和性質，難度中檔．