Question

4．若兩個(gè)函數(shù)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，并在該點(diǎn)處的切線相同，就說(shuō)明這兩個(gè)函數(shù)有why點(diǎn)，已知函數(shù)f（x）=lnx和g（x）=e^x+m有why點(diǎn)，則m所在的區(qū)間為（　�。�

• A． （-3，-e）
• B． （-e，-$\frac{21}{8}$）
• C． （-$\frac{21}{8}$，-$\frac{13}{6}$）
• D． （-$\frac{13}{6}$，-2）

Answer 1

分析 設(shè)f（x）和g（x）的公共點(diǎn)為（a，b），（a＞0），求導(dǎo)數(shù)，建立方程組，求得alna=1，確定a的范圍，再由m=-lna-a=-（a+$\frac{1}{a}$）確定單調(diào)遞增，即可得到m的范圍．

解答 解：設(shè)f（x）和g（x）的公共點(diǎn)為（a，b），（a＞0），
函數(shù)f（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$，
g（x）=e^x+m有的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=e^x+m，
即有$\frac{1}{a}$=e^a+m，lna=e^a+m，
即為alna=1，
令h（a）=alna-1，可得h（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$ln$\frac{3}{2}$-1＜0，h（2）=2ln2-1＞0，
即有$\frac{3}{2}$＜a＜2，
則m=-lna-a=-（a+$\frac{1}{a}$）∈（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{13}{6}$），而-$\frac{5}{2}$＞-$\frac{21}{8}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．