Question

9．已知函數(shù)f（x）滿足：①f（x）=2f（x+2），x∈R；②f（x）=lnx+ax，x∈（0，2）；③f（x）在（-4，-2）內能取得最大值-4．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx，若對任意的x₁∈（1，2）總存在x₂∈（1，2）使得f（x₁）=g（x₂），求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的表達式，得到f（x）的導數(shù)，得到$\frac{4}{x+4}$+4a=0在（-4，-2）內必有解，求出f（x）的最大值，從而求出a的值即可；
（Ⅱ）設出f（x）和g（x）的值域，求出f（x）的值域，通過討論b的范圍，求出g（x）的值域，根據集合的包含關系，解關于b的不等式，求出b的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當x∈（-4，-2）時，有x+4∈（0，2），
由條件②得：f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），
再由條件①得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4），
故f′（x）=$\frac{4}{x+4}$+4a，x∈（-4，-2），
由③，f（x）在（-4，-2）內有最大值，
方程f′（x）=0，即$\frac{4}{x+4}$+4a=0在（-4，-2）內必有解，
故a≠0，且解為x=-$\frac{1}{a}$-4，又最大值為-4，
∴f（x）_max=f（-$\frac{1}{a}$-4）=4ln（-$\frac{1}{4}$）+4a（-$\frac{1}{a}$）=-4，
即ln（-$\frac{1}{a}$）=0，∴a=-1；
（Ⅱ）設f（x）在（1，2）的值域是A，g（x）在（1，2）內的值域是B，
由條件可得：A⊆B，
由（1）得：當x∈（1，2）時，f（x）=lnx-x，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$＜0，
故f（x）在（1，2）內為減函數(shù)，
∴A=（f（2），f（1））=（ln2-2，-1），
對g（x）求導得：g′（x）=b（x-1）（x+1），
若b＜0，則當x∈（1，2）時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
∴B=（g（2），g（1））=（$\frac{2}{3}$b，-$\frac{2}{3}$b），
由A⊆B，得：$\frac{2}{3}$b≤ln2-2，-$\frac{2}{3}$b≥-1，
故必有b≤$\frac{3}{2}$ln2-3，
若b＞0時，則當x∈（1，2）時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
∴B=（g（1），g（2））=（-$\frac{2}{3}$b，$\frac{2}{3}$b），
由A⊆B，得：-$\frac{2}{3}$b≤ln2-2，$\frac{2}{3}$b≥-1，故必有b≥3-$\frac{3}{2}$ln2，
若b=0，則B={0}，此時，A⊆B不成立，
綜上，b的范圍是（-∞，$\frac{3}{2}$ln2-3]∪[3-$\frac{3}{2}$ln2，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及集合的包含關系，是一道中檔題．