Question

4．公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=1，S₁，S₂，S₄成等比．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{1}{S_n}$，證明對(duì)任意的n∈N^*，b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2恒成立．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可得：${S_1}{S_4}={S_2}^2$，即${a_1}（4{a_1}+6d）={（2{a_1}+d）^2}$，解出即可得出．
（2）（2）由（1）得${S_n}={n^2}$，可得${b_n}=\frac{1}{n^2}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$（n≥2）．利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意可得：${S_1}{S_4}={S_2}^2$，即${a_1}（4{a_1}+6d）={（2{a_1}+d）^2}$，
∵a₁=1，d≠0，∴d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）由（1）得S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，∴${b_n}=\frac{1}{n^2}$．
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1＜2成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，${b_n}=\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{{n（{n-1}）}}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴b₁+b₂+…+b_n＜$1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}＜2$成立，
所以對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、放縮法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與技能數(shù)列，屬于中檔題．