Question

2．設(shè)m∈N*，已知函數(shù)f（x）=（2m-m²）•x${\;}^{2{m}^{2}+3m-4}$在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=$\frac{[f（x）]^{2}+{λ}^{2}}{f（x）}$（λ≠0是常數(shù)），試討論g（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并求g（x）在區(qū)間（-∞，0）上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用已知函數(shù)f（x）=（2m-m²）•x${\;}^{2{m}^{2}+3m-4}$在（0，+∞）上是增函數(shù)，m∈N^*，求出m，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{2m-{m}^{2}＞0}\\{2{m}^{2}+3m-4＞0}\end{array}\right.$，
∵m∈N^*，∴m=1，
∴f（x）=x；
（2）g（x）=$\frac{[f（x）]^{2}+{λ}^{2}}{f（x）}$=x+$\frac{{λ}^{2}}{x}$，
∴函數(shù)在（-∞，-|λ|）上單調(diào)遞增，在（-|λ|，0）上單調(diào)遞減，
∴x=-|λ|，函數(shù)取得最大值-2|λ|．

點評 本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．