Question

13．方程mx²-2（m+5）x+m+22=0的所有實(shí)根介于2與5之間（不包括2，5），求m的值．

Answer 1

分析 由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，分類討論求得m的范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=mx²-2（m+5）x+m+22，由題意可得，
當(dāng)m＞0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{△={4（m+5）}^{2}-4m（m+22）≥0}\\{2＜\frac{m+5}{m}＜5}\\{f（2）=4m-4（m+5）+m+22＞0}\\{f（5）=25m-10（m+5）+m+22＞0}\end{array}\right.$，求得$\frac{7}{4}$＜m≤$\frac{25}{12}$．
當(dāng)m＜0時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{△={4（m+5）}^{2}-4m（m+22）≥0}\\{2＜\frac{m+5}{m}＜5}\\{f（2）=4m-4m（m+5）+m+22＜0}\\{f（5）=25m-10m（m+5）+m+22＜0}\end{array}\right.$，求得m無(wú)解．
當(dāng)m=0時(shí)，方程即-10x+22=0，滿足條件．
綜上可得，$\frac{7}{4}$＜m≤$\frac{25}{4}$，或m=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．