Question

7．若向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow$|=4，（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）=-72，則|$\overrightarrow{a}$|=6．

Answer 1

分析 利用多項式乘多項式把（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）=-72的左邊展開，再把$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow$|=4代入化為關(guān)于$|\overrightarrow{a}|$的一元二次方程，則答案可求．

解答 解：由（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）=-72，得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow-6|\overrightarrow{|}^{2}=-72$，
即$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞-6|\overrightarrow{|}^{2}=-72$，
又$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow$|=4，
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2|\overrightarrow{a}|-24=0$，解得|$\overrightarrow{a}$|=6．
故答案為：6．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是對數(shù)量積公式的記憶，是中檔題．