Question

8．已知函數f（x）=mx³-nx²+kx（m≠0）在x=1，x=-1時取得極值，且f（1）=-1
（1）求常數m，n，k的值；
（2）求函數的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導函數，利用函數的極值點，以及函數在列出方程求解即可．
（2）求出函數的導數，利用極值點，判斷導函數的符號，得到函數的單調性，求出單調區(qū)間．

解答 解：（1）函數f（x）=mx³-nx²+kx，可得f′（x）=3mx²-2nx+k，
在x=1，x=-1時取得極值，且f（1）=-1
可得$\left\{\begin{array}{l}3m-2n+k=0\\ 3m+2n+k=0\\ m-n+k=-1\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{2}$，k=$-\frac{3}{2}$，n=0．
得$f（x）=\frac{1}{2}{x^3}-\frac{3}{2}x$，…（6分）
（2）由（1）得$f（x）=\frac{1}{2}{x^3}-\frac{3}{2}x$，
所以$f'（x）=\frac{3}{2}{x^2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}（x-1）（x+1）$．
令f′（x）=0得x=±1．
當x變化時，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

當x=-1時，f（x）有極大值f（-1）=1；
當x=1時，f（x）有極小值f（1）=-1．
所以，f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）；單調遞減區(qū)間是（-1，1）．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的極值以及函數的單調性的判斷，單調區(qū)間的求法，考查計算能力．