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8.已知函數f(x)=mx3-nx2+kx(m≠0)在x=1,x=-1時取得極值,且f(1)=-1
(1)求常數m,n,k的值;
(2)求函數的單調區(qū)間.

分析 (1)求出函數的導函數,利用函數的極值點,以及函數在列出方程求解即可.
(2)求出函數的導數,利用極值點,判斷導函數的符號,得到函數的單調性,求出單調區(qū)間.

解答 解:(1)函數f(x)=mx3-nx2+kx,可得f′(x)=3mx2-2nx+k,
在x=1,x=-1時取得極值,且f(1)=-1
可得$\left\{\begin{array}{l}3m-2n+k=0\\ 3m+2n+k=0\\ m-n+k=-1\end{array}\right.$,解得m=$\frac{1}{2}$,k=$-\frac{3}{2}$,n=0.
得$f(x)=\frac{1}{2}{x^3}-\frac{3}{2}x$,…(6分)
(2)由(1)得$f(x)=\frac{1}{2}{x^3}-\frac{3}{2}x$,
所以$f'(x)=\frac{3}{2}{x^2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}(x-1)(x+1)$.
令f′(x)=0得x=±1.
當x變化時,f′(x),f(x)隨x的變化情況如下表:

x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增
當x=-1時,f(x)有極大值f(-1)=1;
當x=1時,f(x)有極小值f(1)=-1.
所以,f(x)的單調遞增區(qū)間是(-∞,-1),(1,+∞);單調遞減區(qū)間是(-1,1).

點評 本題考查函數的導數的應用,函數的極值以及函數的單調性的判斷,單調區(qū)間的求法,考查計算能力.

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