Question

17．已知圓G：x²+y²-x-$\sqrt{3}$y=0，經(jīng)過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點F及上頂點B，過圓外一點（m，0）（m＞a）傾斜角為$\frac{3π}{4}$的直線l交橢圓于C，D兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的內(nèi)部，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用圓$G：{x^2}+{y^2}-x-\sqrt{3}y=0$經(jīng)過點F，B．求出F，B，得到c，b，求出a．寫出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=-（x-m）（m＞2）．聯(lián)立方程組消去y，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用韋達定理，結(jié)合數(shù)量積相遇0，求解m的范圍．

解答 解：（1）∵圓$G：{x^2}+{y^2}-x-\sqrt{3}y=0$經(jīng)過點F，B．
∴$F（1，0），B（0，\sqrt{3}）$，
∴$c=1，b=\sqrt{3}$，∴a²=4．
故橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，…（4分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=-（x-m）（m＞2）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\\{y=-（x-m）}\end{array}}\right.$消去y得7x²-8mx+（4m²-12）=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{8m}{7}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{7}$，…（6分）
∴${y_1}{y_2}=[{-（{x_1}-m）}]•[{-（{x_2}-m）}]={x_1}{x_2}-m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$．
∵$\overrightarrow{FC}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{FD}$=（x₂-1，y₂），…（8分）
∴$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=$\frac{{7{m^2}-8m-17}}{7}$…（10分）
∵點F在圓G的內(nèi)部，∴$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}＜0$，即$\frac{{7{m^2}-8m-17}}{7}＜0$，
解得$\frac{{4-3\sqrt{15}}}{7}＜m＜\frac{{4+3\sqrt{15}}}{7}$，
由△=64m²-28（4m²-12）＞0，解得$-\sqrt{7}＜m＜\sqrt{7}$．
又m＞2，∴$2＜m＜\frac{{4+3\sqrt{15}}}{7}$，…（12分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．