Question

若直線l：y=ax+b與曲線C₁：y=a+lnx和曲線C₂：y=ae^x均相切，則ae^a的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：分別設(shè)出兩切點(diǎn)，再求出兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并用兩種形式寫出切線的斜率，再結(jié)合切線的方程，列方程解出x₁，x₂，從而求出a的值，即可得到答案．

解答： 解：設(shè)直線l：y=ax+b與曲線C₁：y=a+lnx
和曲線C₂：y=a•e^x均相切的切點(diǎn)分別為：A（x₁，a+lnx₁），B（x₂，a•e^x₂），
而y=a+lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=

1

x

，y=a•e^x的導(dǎo)數(shù)y′=a•e^x，
則

1

x1

=a•e^x₂=a，解得x₁=

1

a

，x₂=0，
則由切點(diǎn)的特點(diǎn)得，ax₁+b=a+lnx₁，ax₂+b=a•e^x₂，
即有1+b=a-lna，b=a，解得a=

1

e

，
則ae^a的=

1

e

•e

1

e

=e

1

e

-1．
故答案為：e

1

e

-1．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，抓住在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為在這點(diǎn)處切線的斜率，同時(shí)注意運(yùn)用斜截式方程的特點(diǎn)，是一道中檔題．