Question

7．已知函數(shù)y=f（x）是定義在[-5，0）∪（0，5]上的偶函數(shù)，且當x∈（0，5]時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x（0＜x＜2）}\\{-{x}^{2}+8x-15（2≤x≤5）}\end{array}\right.$若函g（x）=f（x）-kx+2有三個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是（-8+2$\sqrt{13}$，-$\frac{2}{5}$]∪[$\frac{2}{5}$，8-2$\sqrt{13}$）．

Answer 1

分析 由已知函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，把g（x）=f（x）-kx+2有三個不同的零點轉化為y=f（x）的圖象與y=kx-2的圖象有3個不同交點求解．

解答 解：利用函數(shù)為偶函數(shù)作出圖象如圖：

函數(shù)g（x）=f（x）-kx+2有三個不同的零點，即y=f（x）與y=kx-2有3個不同交點，
直線y=kx-2恒過定點（0，-2），當該直線過（0，-2）與（5，0）時，直線斜率最小，滿足題意，
此時k=$\frac{-2-0}{0-5}=\frac{2}{5}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{y=-{x}^{2}+8x-15}\end{array}\right.$，得x²+（k-8）x+13=0．
由△=（k-8）²-52=0，得k=8-2$\sqrt{13}$或k=8+2$\sqrt{13}$（舍）．
∴當k＞0時，滿足條件的k的取值范圍是[$\frac{2}{5}$，8-2$\sqrt{13}$）；
由對稱性可得，當k＜0時，滿足條件的k的取值范圍是（-8+2$\sqrt{13}$，-$\frac{2}{5}$]．
綜上，實數(shù)k的取值范圍是（-8+2$\sqrt{13}$，-$\frac{2}{5}$]∪[$\frac{2}{5}$，8-2$\sqrt{13}$）．
故答案為：（-8+2$\sqrt{13}$，-$\frac{2}{5}$]∪[$\frac{2}{5}$，8-2$\sqrt{13}$）．

點評 本題考查根的存在性與根的個數(shù)判斷，考查數(shù)學轉化思想方法與數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．