Question

已知函數(shù)f（x）=|2^x-1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），則下列結論中，一定成立的是

 

．①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2^-a＜2^c；④2^a+2^c＜2．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)的圖像變換

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，結合題設可得①不正確；根據(jù)函數(shù)的解析式，結合舉反例的方法，可得到②、③不正確；利用函數(shù)的單調(diào)性結合函數(shù)的解析式，對a＜c且f（a）＞f（c）加以討論，可得④是正確的．由此不難得到正確選項．

解答： 解：對于①，a＜0，b＜0，c＜0，因為a＜b＜c，所以a＜b＜c＜0，
而函數(shù)f（x）=|2^x-1|在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，
故f（a）＞f（b）＞f（c），與題設矛盾，所以①不正確；
對于②，a＜0，b≥0，c＞0，可設a=-1，b=2，c=3，
此時f（c）=f（3）=7為最大值，與題設矛盾，故②不正確；
對于③，取a=0，c=3，同樣f（c）=f（3）=7為最大值，
與題設矛盾，故③不正確；
對于④，因為a＜c，且f（a）＞f（c），說明可能如下情況成立
（i）a、c位于函數(shù)的減區(qū)間（-∞，0），此時a＜c＜0，可得0＜2^c＜2^a＜1，所以2^a+2^c＜2成立
（ii）a、c不在函數(shù)的減區(qū)間（-∞，0），則必有a＜0＜c，所以f（a）=1-2^a＞2^c-1=f（c），
化簡整理，得2^a+2^c＜2成立．
綜上所述，可得只有④正確
故答案為：④

點評：本題以一個帶絕對值的函數(shù)為例，在已知自變量大小關系和相應函數(shù)值的大小關系情況下，叫我們判斷幾個不等式的正確性，著重考查了函數(shù)的圖象與單調(diào)性等知識點，屬于基礎題．