Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E為PC的中點，AD=CD=1，DB=2$\sqrt{2}$，PD=2．
 （1）證明：PA∥平面BDE；
（2）證明：AC⊥PB；
（3）求三棱錐E-ABD的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC∩BD=F，連接EF，F(xiàn)為AC的中點，從而PA∥EF，由此能證明PA∥平面BDE．
（2）由等腰三角形性質(zhì)得AC⊥BD，由線面垂直得PD⊥AC，由此能證明AC⊥平面PBD．
（3）由V_B-ADE=V_E-ABD，利用等積法能求出三棱錐B-ADE的體積．

解答 （1）證明：如圖，設(shè)AC∩BD=F，連接EF，
∵AD=CD，且DB平分∠ADC，
∴F為AC的中點，
又∵E為PC的中點，∴EF為△PAC的中位線，
∴PA∥EF，
又∵EF?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）證明：∵AD=CD，且DB平分∠ADC，
∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又∵PD∩BD=D，且PD?平面PBD、BD?平面PBD，
∴AC⊥平面PBD．
（3）解：∵AD⊥CD，AD=CD=1，∴AC=$\sqrt{2}$，
由（1）知F為AC中點，∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由（2）知AF⊥BD，∴S_△ABD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
又∵PD⊥平面ABCD，PD=2，E為PC中點，
∴E到平面ABD的距離為h=$\frac{1}{2}$PD=1，
∴V_B-ADE=V_E-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•h$=$\frac{1}{3}$，
∴三棱錐B-ADE的體積為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系和性質(zhì)的合理運用．