Question

18．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2）．
（1）若|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}∥\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)；
（2）若|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$）$•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=$\frac{15}{4}$，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），利用$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，計(jì)算可得$\overrightarrow{c}$=（2，4）或$\overrightarrow{c}$=（-2，-4）；
（2）通過（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$）$•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=$\frac{15}{4}$，即2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{15}{4}$，利用$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{5}{4}$及向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），
∵$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y-2x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=20}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{c}$=（2，4）或$\overrightarrow{c}$=（-2，-4）；
（2）∵（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$）$•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=$\frac{15}{4}$，
即2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{15}{4}$，
又|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{5}{4}$，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=-$\frac{1}{2}$，
又θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，注意解題方法的積累，屬于中檔題．